बीजगणित Algebra

इस अध्याय से सम्बन्धित प्रश्न मुख्यतः बीजगणितीय सूत्रों पर आधारित होते हैं जिन्हें अभ्यास के माध्यम से सरलतापूर्वक हल दिया जा सकता है। इस प्रकार के प्रश्नों को हल करते समय कुछ विशेष बिन्दुओं का ध्यान रखना अत्यन्त आवश्यक है।

                                                           महत्त्वपूर्ण तथ्य

♦ इस प्रकार के प्रश्नों का स्वरूप देखने में जटिल अवश्य प्रतीत होता है, किन्तु इनके हल अपेक्षाकृत सरल होते हैं।

♦ इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए बीजगणित से सम्बन्धित समस्त सूत्रों का आत्मसात कर लेना आवश्यक होता है जिससे कि जरूरत पड़ने पर उन्हें किसी भी रूप में प्रयोग किया जा सके।

♦ इस प्रकार के प्रश्नों को हल करते समय निष्कर्ष तक पहुँचने से पूर्व विभिन्न प्रकार के सूत्रों के प्रयोग के साथ-साथ कुछ विशिष्ट संक्रियाओं जैसे जोड़ना, घटाना, गुणा करने अथवा भाग देने का प्रयोग सावधानीपूर्वक करना आवश्यक होता है।

♦ इस प्रकार के प्रश्नों को हल करते समय उपयुक्त विधि ( सूत्र) का चुनाव करना अत्यन्त आवश्यक होता है। क्योंकि यदि विधि का चुनाव करने में कोई त्रुटि होती है, तो ऐसी स्थिति में निष्कर्ष तक पहुँचने में कठिनाई के साथ-साथ समय भी बर्बाद होता है।

♦ इस प्रकार के प्रश्नों को हल करते समय गणना का अधिक से अधिक भाग मस्तिष्क में ही करना आवश्यक होता है जिससे कि समय बचाया जा सके।

♦ इस प्रकार के प्रश्नों को यदि आप सूत्र द्वारा हल नहीं कर पा रहे हैं, तो चर पदों का मान क्रमशः 1, 2, 3, ….. आदि रखकर निष्कर्ष तक पहुँचने की कोशिश करें।

                                         बीजगणितीय सूत्र (Algebraic Formulae)

बीजगणितीय सूत्रों के अनुप्रयोग से सम्बन्धित कुछ महत्त्वपूर्ण बीजगणितीय तादात्मय (Algebraic Identities) निम्नवत् हैं

♦ (a + b)² = a² + b² + 2ab

♦ (a – b)² = a² + b² – 2ab

♦ (a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²)

♦ (a + b)² – (a – b)² = 4ab

♦ (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

♦ a² + b² + c² – ab – bc – ca

        = 1/2 [(a – b)² + (b – c)² +  (c – a)²]

♦ (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)

♦ (a – b)³ = a³-b³-3ab(a – b)

♦ a³ + b³ = (a + b)(a²- ab + b²)

♦ a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

♦ a² + b² = (a + b)² – 2ab

♦ a² + b² = (a – b)² + 2ab

♦ a² – b² = (a + b)(a – b)

♦ a4 + a² + 1 = (a² + a + 1)(a² − a + 1) –

♦ a³ + b³ + c³-3abc

=(a + b + c) [a² + b² + c²-ab-bc-ca]

=1/2 (a + b + c)[(a−b)² + (b – c)² + (c – a)²]

♦ यदि a+b+c= 0, हो, तो  a³ + b³ + c³ = 3abc

                                                           साधित उदाहरण