निर्देशांक ज्यामिति Coordinate Geometry

स्थिर रेखा X’OX तथा स्थिर रेखा Y’OY जो एक-दूसरे पर लम्ब होती हैं, क्रमश: X – अक्ष तथा Y-अक्ष हैं। ये दोनों रेखाएँ समतल को चार बराबर भागों में विभाजित करती हैं, जिन्हें चतुर्थांश (Quadrants) कहते हैं। अत: XOY प्रथम चतुर्थांश तथा YOX’ द्वितीय चतुर्थांश, X’OY’ तृतीय चतुर्थांश तथा Y’OX चतुर्थ चतुर्थांश कहलाते हैं।

विभिन्न चतुर्थांशों में चिह्नों की रूढ़ि गणितज्ञों के अनुसार विभिन्न चतुर्थांशों में चिह्नों की परिपाटी निम्नलिखित हैं

                                                             महत्त्वपूर्ण तथ्य

♦ मूलबिन्दु 0 से, X – अक्ष के दाहिनी ओर ox दिशा में बिन्दु का भुज अर्थात् x-निर्देशांक धनात्मक होता है, इसके विपरीत मूलबिन्दु से, X – अक्ष के बाईं ओर Ox’ दिशा में बिन्दु का भुज अर्थात् निर्देशांक ऋणात्मक होता है।

♦ मूलबिन्दु o से, Y-अक्ष के ऊपर की ओर OY दिशा में, बिन्दु की कोटि अर्थात् y-निर्देशांक धनात्मक होता है परन्तु इसके विपरीत मूलबिन्दु o से, X-अक्ष के नीचे की ओर OY दिशा में, बिन्दु की कोटि अर्थात् y-निर्देशांक ऋणात्मक होता है।

♦ किसी बिन्दु के निर्देशांकों में x-निर्देशांक अथवा y-निर्देशांक अथवा दोनों का धनात्मक या ऋणात्मक होना यह निरूपित करता है कि वह बिन्दु किस पाद में स्थित है।

कुछ विशिष्ट तथ्य Some Special Facts

1. दिए हुए दो बिन्दुओं के बीच की दूरी

माना P व Q दो दिए हुए बिन्दु हैं, जिनके निर्देशांक क्रमशः (X₁, y₁) व (x₂, y₂) हैं। यदि उनके बीच की दूरी d है, तो d = √(x₂ – x₁) 2 + √(y₂ – y₁) 2 मूलबिन्दु (0, 0) तथा किसी बिन्दु (x, y) के बीच की दूरी

 d = √x₂+ y₂

2. दो बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिन्दु के निर्देशांक

 दो बिन्दुओं A (x₁ ,y₁) व B (x₂ y ₂) को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिन्दु के निर्देशांक = x₁+x₂ / 2 , y₁ + y₂ / 2

3. रेखाखण्ड को दिए हुए अनुपात में विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक

(i) अन्तः विभाजन यदि बिन्दु P, रेखा AB पर A और B के बीच कहीं स्थित हो, तो कह सकते हैं कि बिन्दु P, रेखा AB को AP: PB के अनुपात में अन्तः विभाजित करता है। यदि A के निर्देशांक (X₁, y₂ ) और B के निर्देशांक (x₂ / y₂) हैं तथा बिन्दु P (x,y) रेखाखण्ड AB को m₁ : m₂ के अनुपात में विभाजित करता है, तो बिन्दु P के निर्देशांक = m ₁ x₂  – m₂ x₁ / m₁ + m₂ , m₁ +m₂ y₁ / m₁ +m₂ 

(ii) बाह्य विभाजन यदि बिन्दु P, रेखा AB पर इसके बढ़ाए हुए भाग पर स्थित हो, तो कहा जाता है कि बिन्दु P, रेखाखण्ड AB को AP: PB के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है।

यदि बिन्दु P (x,y), बिन्दु A (x₁ y₁ ) तथा बिन्दु B (x2₂y₂) से खींचे जाने वाले रेखाखण्ड को m₁:m₂ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है, तो बिन्दु P के निर्देशांक= m₁x₂ – m₂x₁ / m₁–m₂ , m₁y₂  – m₂ y₁ / m₁ – m₂

4. त्रिभुज का क्षेत्रफल

यदि  ABC के शीर्षों A, B तथा C के निर्देशांक क्रमशः (x₁, y₁), (x₂ , y₂) व (x₃ , y₃) हैं, तो ABC का क्षेत्रफल = 1/2[x₁(y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁)

                                             +x₃ (y₁–y₂)=0]