अनुपात तथा सम समानुपात Ratio and Proportion

अनुपात (Ratio)-दो समान राशियों के तुलनात्मक अध्ययन को अनुपात कहते हैं। यदि a तथा b दो अशून्य संख्याएँ हैं, तो a तथा 6 के अनुपात को a : b  द्वारा निरूपित करते हैं तथा a अनुपात b पढ़ते हैं।

समानुपात (Proportion)-यदि चार अशून्य संख्याएँ a, b,c तथा d इस प्रकार हैं, कि a : b = c : d, तो a, b, c तथा d समानुपात में है।

यदि a : b : : c : d हो, तो ad = bc इसमें a तथा d को बाह्य पद तथा a और c को मध्य पद कहते हैं।

समानुपात से सम्बन्धित महत्त्वपूर्ण परिणाम (Important Results Related to Proportion)

♦ यदि a, b, c, d चार अशून्य राशियाँ हैं, तो

1. a : b :: c : d ⇒ b : a :: d : c (व्युत्क्रमानुपात)

2. a : b :: c : d⇒ a : c :: b : d (एकान्तरानुपात)

3. a : b :: c : d⇒(a + b) : b :: (c + d) : d (योगानुपात)

4, a : b :: c : d⇒(a–b) : b :: (c–d) : d (अन्तरानुपात)

5. a : b :: c : d⇒ (a + b) : (a – b) : : (c + d) : (c – d) (योगान्तरानुपात)

चतुर्थानुपाती (Fourth Proportional)-यदि चार अशून्य राशियाँ a, b, c तथा d समानुपात में हैं, तो d को a, b, c का चतुर्थानुपाती कहते हैं।

वितत् समानुपात (Continued Proportion)-तीन अशून्य संख्याएँ a, b तथा c वितत् समानुपात में होंगी, यदि       a/b=b/c

यदि a, b, c वितत् समानुपात में है, तो

  ⇒               b²=ac

यहाँ b को मध्यानुपाती कहते हैं तथा c को तृतीयानुपाती कहते हैं।

                                            महत्त्वपूर्ण तथ्य एवं सूत्र

♦ यदि A : B = a : b तथा B C =m:n हो, तो A : B : C = am : mb : nb तथा A : C = am: bn

♦ यदि A : B = a : b, B : C=cd तथा C : D=e : f हो, तो A : B : C : D = ace : bce: bde: bdf

♦ यदि x को a : b के अनुपात में बाँटे, तो पहला भाग = a/a+b X x  तथा दूसरा भाग = b/a+b X x